Пусть имеется система уравнений n = 2 (n может быть любого порядка):
|
|
(9.1) |
Пусть эта система имеет неподвижную точку .
Рассмотрим систему вблизи неподвижной точки:
Разложим в ряд Тейлора вблизи неподвижной точки:
|
|
(9.2) |
Введём обозначения:
|
|
(9.3) |
Подставим соотношения (9.2), (9.3) в исходную систему уравнений (9.1) и получим:
Отсюда имеем линейную систему для возмущения в окрестности неподвижной точки:
Представим возмущения в окрестности неподвижной точки в экспоненциальной форме:
где - собственные числа матрицы А:
Определим собственные числа из решения характеристического уравнения
и по ним - тип неподвижной точки (см. раздел "Классификация неподвижных точек на плоскости").
Если тип неподвижной точки линеаризованной системы соответствует узлу (устойчивому,
неустойчивому), фокусу (устойчивому, неустойчивому), седлу, то такой же тип имеет и исследуемая неподвижная точка нелинейной системы.
Если тип неподвижной точки линеаризованной системы соответствует центру, то о типе неподвижной точки нелинейной системы ничего сказать нельзя,
требуются дополнительные исследования.
|