Выясним, с какой точностью конечные разности (2.5), (2.6), (2.7) аппроксимируют значение производной функции u в точке x_j. Для этого разложим значения функции в ряд Тейлора относительно точки x_j:

(2.9)

(2.10)

     Подставляя выражение (2.9) в правую конечную разность (2.5), получаем:

(2.11)

Первое слагаемое в правой части выражения (2.11) является производной функции u в точке x_j, а все остальные составляют так называемую ошибку аппроксимации, показывающую насколько значение производной функции u в точке x_j, определяемое с помощью разностного оператора, аппроксимирующего эту производную, отличается от её истинного значения.
     Учитывая, что производные любых порядков функции u ограничены в точках интервала [a; b], а величина h после выполнения операции обезразмеривания переменных не будет превышать 1, наиболее существенный вклад в ошибку аппроксимации вносит слагаемое, в котором порядок h наименьший. На основании этого говорят, что рассматриваемая конечная разность имеет порядок аппроксимации по h, соответствующий этой наименьшей степени h в выражении для ошибки аппроксимации.
     Таким образом, понятие "порядок аппроксимации" характеризует точность, с которой разностный оператор аппроксимирует производную функции u в точке x_j: чем выше порядок аппроксимации, тем точнее аппроксимация и, соответственно, меньше её ошибка.
     В случае правой конечной разности наибольший вклад в ошибку аппроксимации вносит второе слагаемое в правой части выражения (2.11) и, следовательно, правая конечная разность имеет первый порядок аппроксимации, что записывается в виде:
     Подставляя выражение (2.10) в левую конечную разность (2.6), получаем: Таким образом, левая конечная разность также имеет первый порядок аппроксимации.
     Подставляя выражения (2.9), (2.10) в центральную конечную разность (2.7), получаем: Таким образом, центральная конечная разность имеет второй порядок аппроксимации и, следовательно, значение производной функции u в точке x_j, полученное при использовании центральной конечной разности, будет ближе к истинному значению, чем при использовании правой или левой конечных разностей.