Периодические колебания в двумерном фазовом
пространстве могут быть вызваны наличием в системе либо центра, либо
устойчивого предельного цикла.
Неподвижная точка центр,
представляющая собой бесконечное множество концентрических замкнутых
траекторий, является структурно неустойчивой; то есть, случайные
флуктуации вызывают постоянное движение между орбитами центра и, следовательно, амплитуды
колебаний. Причём, при усилении флуктуаций неподвижная точка центр
вообще может быть разрушена. Способность к лёгкому разрушению является
характерным свойством центров, и хотя они нейтрально устойчивы, однако
структурно неустойчивы.
Другая
причина незатухающих колебаний в нелинейных системах -
это наличие предельных циклов на их фазовых портретах. Предельные циклы
являются структурно устойчивыми и, следовательно, представляют собой более
постоянную, характерную черту фазового портрета: они не имеют тенденции
исчезать при относительно малых возмущениях. Модели, нечувствительные к
малым возмущениям, называются грубыми. Поскольку большинство моделей
являются идеализациями, в которых внимание сосредоточено только на
некоторых основных переменных и соотношениях между ними, такой вид
устойчивости чрезвычайно важен.
В
качестве примера рассмотрим 2 модели, описывающие взаимодействие двух
биологических видов по типу “хищник–жертва”: модель Лотки-Вольтерра,
которая не является грубой, и модель Холлинга-Тэннера,
в которой возникают структурно устойчивые колебания численности популяций
(то есть, происходит явление самоорганизации).
|