Бифуркации в нелинейных системах
         5. Бифуркация рождения двух предельных циклов

     Рассмотрим нелинейную систему, заданную в полярных координатах:
  (11.7)


     При < 0 система (11.7) имеет одну неподвижную точку , которая является аттрактором и в декартовой системе координат соответствует устойчивому фокусу (см. рисунок). При = 0 в системе появляется ещё одна неподвижная точка которая является шунтом и в декартовой системе координат будет соответствовать полуустойчивому предельному циклу; тип точки при этом не изменяется (см. рисунок).

     При 0 < < 1 первое уравнение системы (11.7) имеет три неподвижные точки Точки и являются аттракторами, а точка - репеллером. Следовательно, изучаемая система в декартовых координатах имеет устойчивый фокус и два предельных цикла: устойчивый с радиусом (внешний цикл) и неустойчивый с радиусом (внутренний цикл). Траектории внутри неустойчивого предельного цикла сматываются с него и устремляются к фокусу, а снаружи - к внешнему предельному циклу (см. рисунок).

     Таким образом, при прохождении управляющего параметра системы через бифуркационное значение = 0 (от отрицательного к положительному) в системе происходит бифуркация рождения двух циклов, осуществляемая через появление полуустойчивого цикла.

     По мере приближения значения управляющего параметра к 1 радиус внешнего предельного цикла растёт, а внутреннего - уменьшается, и при = 1 в системе (11.7) происходит ещё одна бифуркация: неподвижные точки и сливаются в точку которая становится неустойчивой. В декартовой системе координат это соответствует слиянию неустойчивого предельного цикла с устойчивым фокусом с образованием неустойчивого фокуса. Таким образом, при > 1 устойчивый предельный цикл остаётся в системе единственным притягивающим множеством (см. рисунок).