Линейная система

,

(7.15)

называется простой, если матрица А неособая (то есть, ) и не имеет нулевых собственных значений. Тогда система (7.15) имеет единственную неподвижную точку.

     Линейная система называется непростой, если А - сингулярная матрица (то есть, ) и, следовательно, хотя бы одно из собственных значений матрицы А равно нулю. Отсюда следует, что существуют решения уравнения

,

и система имеет не единственную неподвижную точку (имеется в виду вектор). Для линейных систем на плоскости существуют только две возможности: или ранг матрицы А равен единице, или А - нулевая матрица. В первом случае имеется прямая, состоящая из неподвижных точек; во втором случае все точки плоскости являются неподвижными точками.

     Далее будем рассматривать простые линейные системы, поскольку они играют главную роль для понимания природы неподвижных точек.

     Линейная система на плоскости может иметь неподвижную точку одного из четырёх типов: узел, фокус, седло, центр. Продемонстрируем эти типы точек на простых примерах.