В основе методов численного решения дифференциальных уравнений, изучаемых в настоящем учебном пособии, лежит преобразование дифференциальной задачи в разностную задачу, называемое аппроксимацией*. Однако прежде, чем перейти к проблемам аппроксимации дифференциальных уравнений, рассмотрим аппроксимацию простейших дифференциальных операторов, т.е. производных первого и второго порядков.
     Рассмотрим функцию одной переменной u = u(x), для которой задан интервал её изменения x [a; b]. Разобьём интервал [a; b] на n равных частей (см. рисунок). Введём следующие обозначения:

u(xj) = uj - значение функции u(x) в точке xj ; - величина интервала между точками.

Введём понятие нормы функции u(x_j) с помощью соотношения:
     Рассмотрим производную функции u в точке x_j:      Аппроксимация этой производной может быть введена с помощью следующих разностных операторов:

с помощью правой конечной разности

(2.5)

с помощью левой конечной разности

(2.6)

с помощью центральной конечной разности

(2.7)

     Кроме того, разностную аппроксимацию производной первого порядка можно задать в виде линейной комбинации выражений (2.5) и (2.6):

(2.8)

где 0 1.
     Видно, что при = 0 выражение (2.8) становится левой конечной разностью, при = 1 - правой конечной разностью, при = 1/2 - центральной конечной разностью.