Фазовый портрет в окрестности произвольной неподвижной точки принадлежит одному и только одному из трёх типов точек:
асимптотически устойчивой, нейтрально устойчивой или неустойчивой.
Определение. Неподвижная точка
системы называется устойчивой (или аттрактором),
если для любой окрестности N точки
существует некоторая меньшая окрестность этой точки
такая, что любая траектория, проходящая через N ',
остается в N при возрастании t.
Определение. Неподвижная точка
системы
называется асимптотически устойчивой, если она устойчива, и кроме того существует такая окрестность N точки ,
где любая траектория, проходящая через N, стремится к
при .
Любая асимптотически устойчивая неподвижная точка устойчива.
Но не каждая устойчивая неподвижная точка является асимптотически устойчивой.
Определение. Неподвижная точка
системы ,
которая устойчива, но не асимптотически устойчива, называется нейтрально устойчивой.
Определение. Неподвижная точка
системы ,
которая не является устойчивой, называется неустойчивой.
Это значит, что существует такая окрестность N неподвижной точки,
что для любой окрестности
имеется по крайней мере одна траектория, которая проходит через
и не остается в N.
|