Как определить, не решая систему уравнений, тип неподвижной точки и устойчива ли она? Для этого используют первый метод Ляпунова для определения типа устойчивости неподвижной точки.
     Рассмотрим систему уравнений:

(8.1)

Решение системы уравнений (8.1) представим в виде:

(8.2)

Подставим (8.2) в исходную систему уравнений (8.1) и получим: или после сокращения

(8.3)

     В матричной форме запись уравнений (8.3) выглядит следующим образом:

(8.4)

Для того чтобы система (8.4) имела нетривиальные решения С 0, необходимо, чтобы т. е.

(8.5)

Собственные числа матрицы А определяют из условия (8.5). Раскрывая детерминант, получим квадратичное уравнение относительно , называемое характеристическим:

(8.6)

Следовательно, исходная система (8.1) допускает решения:      По значению собственных чисел матрицы А можно определить тип точки и тип её устойчивости. Существуют три возможности поведения собственных чисел, соответствующих трём видам устойчивости неподвижных точек:
     1) если имеют действительные отрицательные части, то неподвижная точка асимптотически устойчива;
     2) если хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть, то неподвижная точка неустойчива;
     3) если корни чисто мнимые или один из корней имеет нулевую действительную часть, а действительная часть другого - отрицательна, то неподвижная точка нейтрально устойчива.