При численном решении дифференциальных уравнений неизбежно возникают ошибки, приводящие к некоторому отличию результатов численного решения от истинных значений искомой функции, причём существует два типа источников этих ошибок. Как уже отмечалось в разделе "Понятие порядка аппроксимации", одним источником ошибок является сама аппроксимация, т.е. замена производных в исходных дифференциальных уравнениях конечными разностями. Другой источник ошибок связан с погрешностью вычислений. Ошибки могут возникать при неточности вычислений как самой разностной схемы, так и начальных и граничных условий. В зависимости от особенностей вычислительного алгоритма эти ошибки в процессе расчёта могут затухать или возрастать. Если они не возрастают, то говорят, что разностная схема устойчива, если же возрастают, то - неустойчива.
     Запишем дифференциальную краевую задачу в виде символьного равенства:

(3.1)

где L - дифференциальный оператор; u - искомая функция; f - правая часть дифференциального уравнения.
     Тогда разностную схему кратко можно представить в следующем виде:

(3.2)

где L_h - разностный оператор, действующий на сеточную функцию u^(h), являющуюся результатом решения разностной задачи; f ^(h) - проекция на разностную сетку непрерывной функции f.
     Теорема 1. Разностная схема (3.2) с линейным оператором L_h устойчива, если при любом уравнение (3.2) имеет единственное решение , причём где с - константа, U_h - множество решений, F_h - множество правых частей.
     Теорема 2. Пусть разностная схема (3.2) аппроксимирует дифференциальное уравнение (3.1) с порядком аппроксимации и является устойчивой. Тогда решение разностной задачи (3.2) u^(h) сходится к решению исходной дифференциальной задачи (3.1) [u]_h и имеет место неравенство: где М - константа.
     Таким образом, сходимость решения разностной схемы к решению исходного уравнения имеет место только при выполнении двух требований:
1. разностная схема должна аппроксимировать исходное уравнение;
2. разностная схема должна быть устойчива.