Преобразуем неявную разностную схему (4.6), группируя в левой части члены, содержащие значение функции u на (n + 1)-ом шаге по времени, а в правой части - все остальные члены:

(4.8)

Введём следующие обозначения:

(4.9)

С учётом обозначений (4.9) равенство (4.8) будет иметь вид:

(4.10)

Данное преобразование часто называют преобразованием неявной разностной схемы к виду, удобному для использования метода прогонки.

     Разностный шаблон (см. рисунок), характеризующий неявную разностную схему (4.6), свидетельствует о том, что данная разностная схема содержит три неизвестные величины - значения функции u на (n + 1)-ом шаге по времени. Это обстоятельство затрудняет вывод рекуррентного соотношения, позволяющего последовательно рассчитать значения искомой функции u в каждом из узлов разностной сетки (подобно тому, как это было сделано в случае явной разностной схемы).
     Следовательно, для реализации неявной разностной схемы (4.6) требуется ввести некоторое дополнительное условие, связывающее значения функции u на (n + 1)-ом шаге по времени. Представим это дополнительное условие в виде линейной зависимости

(4.11)

справедливой для любого значения j = 1, ..., N - 1.
     Соотношение (4.11) называют рекуррентным прогоночным соотношением, а коэффициенты - прогоночными коэффициентами.
     Рассмотрим методику определения прогоночных коэффициентов. Для этого перепишем соотношение (4.11) в виде: Подставим данное выражение в (4.10) и выразим из полученного равенства :

(4.12)

Сравнивая выражения (4.11) и (4.12), получаем:

(4.13)

Выражения (4.13) позволяют рассчитать значения прогоночных коэффициентов на j-ом шаге по координате х, если известны их значения на (j - 1)-ом шаге по координате х (а также коэффициенты в выражении (4.10), определение которых не должно вызывать затруднений). Следовательно, для того, чтобы определить значения прогоночных коэффициентов на любом шаге по координате х, необходимо знать их значения на 1-м шаге, т.е. .