Суммируя вышеизложенное, проследим последовательность действий, которую подразумевает метод прогонки при расчёте значений функции u на (n + 1)-ом шаге по времени:
     1) с помощью левого граничного условия определяются значения прогоночных коэффициентов на 1-м шаге по координате х, т.е. ;
     2) по формулам (4.13) определяются значения прогоночных коэффициентов для j = 2, ..., N - 1;
     3) с помощью правого граничного условия определяется значение ;
     4) с помощью рекуррентного прогоночного соотношения (4.11) определяются значения искомой функции u на (n + 1)-ом шаге по времени для j = N - 1, ..., 1.
     Обратим внимание, что определение прогоночных коэффициентов осуществляется за счёт цикла по j, в котором значения j увеличиваются (что соответствует перемещению слева направо на разностной сетке), в то время как при определении значений функции u на (n + 1)-ом шаге по времени организуется цикл по j, в котором значения j уменьшаются (что соответствует перемещению справа налево на разностной сетке). Именно благодаря этим двум циклам (в первом из которых j совершает пробег слева направо, а во втором - справа налево), данный метод решения неявной разностной схемы и получил название метода прогонки.

     Неявная разностная схема (4.6) является абсолютно устойчивой. Однако это ещё не гарантирует сходимость её метода решения (т.е., метода прогонки) к решению исходной дифференциальной задачи.
     Теорема. Достаточным условием сходимости метода прогонки к решению исходной дифференциальной задачи является выполнение следующего неравенства:

(4.16)

где - коэффициенты из уравнения (4.10).
     Легко видеть, что для разностной схемы (4.6) достаточное условие сходимости прогонки выполняется:
     Отметим, что при k < 0* выполнение достаточного условия сходимости прогонки (4.16) не является очевидным. Однако при этом спектральный метод не будет гарантировать устойчивость неявной разностной схемы (4.6). Очевидно, данный случай требует особого метода решения.