Заменим в выражении для k₂ (12.7) коэффициенты при неизвестными параметрами : Разностную схему для уравнения (12.1) представим в виде: Тогда решение на (n + 1)-ом шаге по времени будет определяться рекуррентным соотношением:

(12.8)

     Разложим функцию k₂ в ряд Тейлора: Подставим данное выражение в рекуррентное соотношение (12.8):

(12.9)

     Разложим функцию в ряд Тейлора: Данная формула с учётом равенств примет следующий вид:

(12.10)

     Сравнивая соотношения (12.9) и (12.10), получаем следующую систему уравнений:

(12.11)

Система (12.11) состоит из трёх уравнений с четырьмя неизвестными, поэтому она не может иметь однозначного решения. Для определения значений неизвестных параметров необходимо задать значение одного из них (обычно задают значение параметра ); тогда значения остальных параметров можно определить из уравнений системы (12.11): По этой причине принято говорить не о методе Рунге-Кутта второго порядка, а о семействе методов Рунге-Кутта второго порядка, поскольку в зависимости от выбранного значения параметра мы получим тот или иной вид рекуррентного соотношения (12.8).
     На практике используются, как правило, два случая: Видно, что первый случай совпадает с методом Рунге-Кутта второго порядка, рассмотренным в предыдущем разделе.