Запишем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в следующем общем виде:

(12.1)

Уравнение (12.1) следует дополнить начальным условием:
     Запишем для уравнения (12.1) явную разностную схему:

(12.2)

Метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием явной разностной схемы (12.2) называется явным методом Эйлера.
     Разностная схема (12.2) имеет первый порядок аппроксимации по времени. Для её решения используется рекуррентное соотношение:
     Для анализа устойчивости явного метода Эйлера рассмотрим конкретный пример:

(12.3)

Явная разностная схема для уравнения (12.3) имеет вид: Проведём исследование устойчивости данной схемы с помощью спектрального метода: Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на , и выражаем : С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем (3.8) имеем: В полученном двойном неравенстве правое условие выполняется автоматически. Поэтому рассмотрим более подробно левое условие: Полученное выражение является условием устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей уравнение (12.3).

     Таким образом, явный метод Эйлера является условно устойчивым и относится к методам с первым порядком точности.