Выразим из соотношения (3.5) величину погрешности на (n + 1)-ом шаге по времени: Последний член в правой части полученного выражения имеет порядок малости, явно меньший t, что позволяет им пренебречь. Таким образом, получаем:      Представим данное выражение в операторном виде: Здесь zⁿ - вектор погрешностей, Е - единичный оператор: Оператор В, определяемый с помощью выражения называют оператором перехода от n-го шага по времени к (n + 1)-му шагу по времени.
     Для того чтобы разностная схема (3.4), аппроксимирующая дифференциальное уравнение (3.3), была устойчива, необходимо (согласно определению устойчивости разностных схем), чтобы норма погрешности на (n + 1)-ом шаге по времени не превосходила нормы погрешности на n-ом шаге по времени, то есть:

(3.6)

     Погрешность решения разностной схемы в точке можно представить в виде комплексного выражения (гармоники):

(3.7)

где - собственное число оператора перехода В; i - мнимая единица.
     Теорема. Для того, чтобы разностная схема была устойчива (т.е. для выполнения условия (3.6)), необходимо, чтобы все собственные числа оператора перехода В удовлетворяли условию:

(3.8)

Данное условие является необходимым условием устойчивости разностных схем.