До сих пор мы рассматривали упорядоченное движение. При наличии в системе неподвижной точки центр возникают периодические колебания, если неподвижная точка - устойчивый фокус, то - затухающие колебания. В системе, имеющей предельный цикл, также возникают периодические колебания. Если же система обладает странным аттрактором, то движение теряет свою периодичность и возникают непериодические колебания. В этом разделе на примере простой дискретной системы мы рассмотрим один из возможных сценариев перехода от упорядоченного движения к хаосу через каскад бифуркаций типа удвоения периода, один из возможных механизмов возникновения хаотического множества в фазовом пространстве.
     Рассмотрим процесс роста бактерий в биореакторе (ферментёре). Если один раз за характерный период времени определять количество бактерий (х), мы получим последовательность, описывающую изменение численности бактерий: Естественно ожидать, что численность популяции в данный момент времени зависит от того, сколько бактерий было в ферментёре в момент предыдущего замера. Математическая модель изменения численности популяции часто представляется в виде:

(14.1)

где - коэффициент роста численности популяции; N - максимальное значение численности вида.
     Из уравнения (14.1) видно, что численность популяции быстро растёт, пока она мала и начинает убывать, когда бактерий становится слишком много.
     Если провести обезразмеривание модели (14.1) с помощью соотношений тогда она примет следующий вид (штрихи опущены):

(14.2)

     Уравнения типа (14.2) называются логистическими.