Для более детального анализа неподвижной точки для случая n = 3 необходимо знать знак выражения:
В зависимости от знака характеристическое уравнение (8.9) имеет либо три действительных корня,
либо один действительный и два комплексных сопряжённых (см. таблицу).
Условия |
Тип корней характеристического многочлена |
Тип неподвижной точки |
|
все корни положительны |
неустойчивый узел |
|
все корни отрицательны;условия совпадают с условиями асимптотической устойчивости (8.10) |
устойчивый узел |
|
действительные части корней положительны |
неустойчивый фокус |
|
действительные части корней отрицательны;условия совпадают с условиями асимптотической устойчивости (8.10) |
устойчивый фокус |
|
корни действительные, но знаки их не совпадают |
седло |
|
|
|
один из корней действительный, а два других - комплексные сопряжённые, причём знаки их действительных частей противоположны знаку действительного корня |
седло-фокус |
|
|
|
Неподвижная точка седло-фокус (см. рисунок) имеет сепаратрисную поверхность, на которой фазовые траектории расположены так же,
как в окрестности фокуса на фазовой плоскости двумерных систем.
Причём, для сепаратрисной плоскости состояние устойчиво, для других плоскостей - неустойчиво.
|