Методы исследования линейных систем
         6. Детальный анализ типа неподвижной точки для системы 3-го порядка

     Для более детального анализа неподвижной точки для случая n = 3 необходимо знать знак выражения:
 
В зависимости от знака характеристическое уравнение (8.9) имеет либо три действительных корня, либо один действительный и два комплексных сопряжённых (см. таблицу).

Условия Тип корней характеристического многочлена Тип неподвижной точки
все корни положительны неустойчивый узел
все корни отрицательны;условия совпадают с условиями асимптотической устойчивости (8.10) устойчивый узел
действительные части корней положительны неустойчивый фокус
действительные части корней отрицательны;условия совпадают с условиями асимптотической устойчивости (8.10) устойчивый фокус
корни действительные, но знаки их не совпадают седло
один из корней действительный, а два других - комплексные сопряжённые, причём знаки их действительных частей противоположны знаку действительного корня седло-фокус



     Неподвижная точка седло-фокус (см. рисунок) имеет сепаратрисную поверхность, на которой фазовые траектории расположены так же, как в окрестности фокуса на фазовой плоскости двумерных систем. Причём, для сепаратрисной плоскости состояние устойчиво, для других плоскостей - неустойчиво.