Рассмотрим две нелинейные системы, имеющие различные глобальные фазовые портреты, в то время как их линеаризованные системы имеют неподвижную точку - центр.
     Рассмотрим первую систему

(9.4)

имеющую неподвижную точку Линеаризованная система для исходной системы (9.4) имеет вид

(9.5)

Легко убедиться, что линеаризованная система (9.5) имеет неподвижную точку - центр.

     Построим фазовый портрет исходной системы (9.4). Для этого перейдём к полярным коор-динатам, в которых она будет иметь вид:

(9.6)

Из уравнения (9.6) видно, что для всех r > 0 и, следовательно, траектории (9.4) - спирали, раскручивающиеся при возрастании t.

     Перейдём ко второй системе, которая выглядит следующим образом

(9.7)

и также имеет неподвижную точку

     Линеаризованная система для (9.7) аналогична системе (9.5):

(9.5)

и также имеет неподвижную точку, являющуюся центром. Построим для второй системы (9.7) фазовый портрет. В полярных координатах система (9.7) выглядит так:

(9.8)

Из уравнения (9.8) видно, что при r > 0 и, следовательно, фазовые траектории систе-мы (9.7) - спирали, закручивающиеся вокруг неподвижной точки при возрастании t. Таким образом, неподвижная точка системы (9.4) неустойчива, а неподвижная точка системы (9.7) устойчива, в то время как неподвижная точка их линеаризации - центр - обладает нейтральной устойчивостью (см. рисунок).

Фазовые портреты систем (9.4) и (9.7) и их линеаризация (9.5)