Линеаризация нелинейных систем
         3. Линеаризация нелинейных систем

     Пусть имеется система уравнений n = 2 (n может быть любого порядка):
  (9.1)
Пусть эта система имеет неподвижную точку . Рассмотрим систему вблизи неподвижной точки:
 
Разложим в ряд Тейлора вблизи неподвижной точки:
  (9.2)
Введём обозначения:
  (9.3)
Подставим соотношения (9.2), (9.3) в исходную систему уравнений (9.1) и получим:
 
Отсюда имеем линейную систему для возмущения в окрестности неподвижной точки:
 
     Представим возмущения в окрестности неподвижной точки в экспоненциальной форме:
 
где - собственные числа матрицы А:
 
Определим собственные числа из решения характеристического уравнения и по ним - тип неподвижной точки (см. раздел "Классификация неподвижных точек на плоскости").

     Если тип неподвижной точки линеаризованной системы соответствует узлу (устойчивому, неустойчивому), фокусу (устойчивому, неустойчивому), седлу, то такой же тип имеет и исследуемая неподвижная точка нелинейной системы. Если тип неподвижной точки линеаризованной системы соответствует центру, то о типе неподвижной точки нелинейной системы ничего сказать нельзя, требуются дополнительные исследования.