Исследуем устойчивость явной разностной схемы (7.2), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (7.1), с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член , наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники: Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на : Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу из которой выражаем : С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем (3.8) имеем: В полученном двойном неравенстве правое условие выполняется автоматически. Поэтому рассмотрим более подробно левое условие: Данное выражение содержит две переменные величины - и . Чтобы гарантировать устойчивость разностной схемы (7.2) независимо от значений этих величин, следует перейти к более строгому условию, задавая для максимально возможное значение, равное 1:

(7.4)

Выражение (7.4) является условием устойчивости явной разностной схемы (7.2), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (7.1). В случае отсутствия в уравнении (7.1) свободного члена (т.е. при k = 0), а также если интервалы между точками по осям х и y на разностной сетке задать равными выражение (7.4) примет более простой вид:

(7.4a)

Сравнивая данное выражение с соотношением (3.12) (являющимся условием устойчивости явной разностной схемы (3.4), аппроксимирующей одномерное дифференциальное уравнение параболического типа (3.3)) можно сделать вывод, что увеличение размерности системы на порядок приводит к уменьшению в два раза максимально возможного значения t, при котором явная разностная схема будет устойчива.