Странные аттракторы
       2. Система Лоренца

     2.1. Исследование типа неподвижных точек

     Рассмотрим систему Лоренца:
  (13.1)
где - управляющие параметры системы.

     Определим неподвижные точки системы Лоренца (13.1) из уравнений:
 
     Видно, что начало координат, т.е. точка O(0, 0, 0), является неподвижной точкой при любых значениях параметров системы. Характеристическое уравнение для неё имеет вид:
 
Следовательно, точка О устойчива и является устойчивым узлом, если r < 1.
     При r > 1 точка О теряет устойчивость, превращаясь в седло-узел, и в системе возникают ещё две неподвижные точки:
 
Тип точек O1 и O2 определяется с помощью характеристического уравнения:
  (13.2)
Точки O1 и O2 устойчивы при выполнении условий:
  (13.3)
     При точки O1 и O2 становятся неустойчивыми точками типа седло-фокус. В этом случае характеристическое уравнение (13.2) имеет один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряжённых с положительной действительной частью.

     Других неподвижных точек кроме O, O1 и O2 система (13.1) не имеет. Поскольку локальный анализ окрестностей неустойчивых неподвижных точек O, O1 и O2 не даёт сведений о характере траекторий, для дальнейшего изучения системы Лоренца требуется численное интегрирование уравнений (13.1).