2.1. Исследование типа неподвижных точек
Рассмотрим систему Лоренца:
|
|
(13.1) |
где - управляющие параметры системы.
Определим неподвижные точки системы Лоренца (13.1) из уравнений:
Видно, что начало координат, т.е. точка O(0, 0, 0),
является неподвижной точкой при любых значениях параметров системы. Характеристическое уравнение для неё имеет вид:
Следовательно, точка О устойчива и является устойчивым узлом, если r < 1.
При r > 1 точка О теряет устойчивость, превращаясь в седло-узел, и в системе возникают ещё две неподвижные точки:
Тип точек O1 и O2 определяется с помощью характеристического уравнения:
|
|
(13.2) |
Точки O1 и O2 устойчивы при выполнении условий:
При точки O1 и O2
становятся неустойчивыми точками типа седло-фокус. В этом случае характеристическое уравнение (13.2) имеет один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряжённых с положительной действительной частью.
Других неподвижных точек кроме O, O1 и O2
система (13.1) не имеет. Поскольку локальный анализ окрестностей неустойчивых неподвижных точек O,
O1 и O2 не даёт сведений о характере траекторий, для дальнейшего изучения системы Лоренца требуется численное интегрирование уравнений (13.1).
|