Мы доказали, что производство энтропии системы, находящейся в стационарном состоянии, имеет экстремум. Докажем теперь, что стационарное состояние, которому соответствует минимум производства энтропии, является устойчивым. Для доказательства будем использовать второй метод Ляпунова.
     Рассмотрим функцию

(4.5)

описывающую разность производства энтропии в окрестности стационарного состояния системы и в самом стационарном состоянии . В стационарном состоянии функция равна нулю: Если стационарному состоянию соответствует минимальное производство энтропии тогда в его окрестности функция будет положительна: Таким образом, функция (4.5) является функцией Ляпунова.
     Рассмотрим производную от функции . Если производство энтропии системы в стационарном состоянии минимально, то в окрестности стационарного состояния имеем:

(4.6)

Следовательно, так как      Таким образом, знак функции Ляпунова (4.5) противоположен знаку её производной. Следовательно, стационарное состояние системы устойчиво.
     Отметим, что всё сказанное справедливо только для линейных систем, т.е. вблизи равновесия. Условие (4.6) указывает, в каком направлении развивается эволюция физико-химической системы, находящейся вблизи равновесия. Таким образом, теорема Пригожина является критерием эволюции для линейных систем: внутренние неравновесные процессы всегда протекают в направлении, уменьшающем производство энтропии системы.