Исследуем устойчивость разностной схемы Кранка-Николсона (4.18) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член , наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7): Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на : Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу из которой выражаем :
     Видно, что в полученном выражении числитель по абсолютному значению меньше знаменателя (при > 0* и k 0*). Следовательно, необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8) в данном случае выполняется при любых значениях t и h; то есть, разностная схема Кранка-Николсона (4.18) является абсолютно устойчивой.

     Отметим, что при k < 0* спектральный метод не будет гарантировать устойчивость разностной схемы (4.18), поскольку может принимать любые значения от 0 до 1 и при = 0 числитель будет больше знаменателя при любом положительном t. Очевидно, данный случай требует особого метода решения.