Исследуем устойчивость разностной схемы (5.2) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член , наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7): Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на , и выражаем : Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8) также следует рассматривать в применении к комплексным числам. То есть, неравенство

(5.6)

означает, что для того чтобы разностная схема была устойчива, необходимо чтобы собственные числа оператора перехода были расположены внутри или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости (см. рисунок).

     1. Рассмотрим случай v < 0. Введём следующее обозначение: Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке и радиусом: Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.6), получаем три различных варианта (см. рисунок). Видно, что окружность, соответствующая собственным числам оператора перехода, при r < 1 находится внутри круга, соответствующего условию (5.6); при r > 1 - вне этого круга; а при r = 1 совпадает с его границей. Таким образом, при отрицательном значении параметра v явная разностная схема (5.2) будет устойчива при выполнении следующего условия:
     2. Рассмотрим случай v > 0. Введём следующее обозначение: Полученное выражение свидетельствует о том, что собственные числа оператора перехода расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке и радиусом q. Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.6) при любом значении q (см. рисунок). Таким образом, при положительном значении параметра v явная разностная схема (5.2) будет неустойчива.

     Обобщая полученные результаты, сделаем вывод, что явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью (5.2) является условно устойчивой; условие устойчивости имеет вид: