Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
       6. Обобщение изученных методов.

     В заключение приведём обобщение методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
  (10.11)

     I. k > 0. Записывается разностная схема
 
для решения которой используется метод прогонки.

     II. k = 0. Используется метод установления, заключающийся во введении в исходное уравнение (10.11) фиктивной производной по времени (т.е. преобразовании стационарной задачи в нестационарную):
 
В силу независимости от времени граничных условий (соответствующих исходной стационарной задаче) с течением времени производная по времени будет стремиться к нулю, а решение нестационарной задачи - к решению исходной стационарной задачи:
 
Процесс пошагового приближения решения нестационарной задачи к решению исходной стационарной задачи называют итерационным процессом.
     Для осуществления итерационного процесса (т.е. для решения нестационарной задачи) используются следующие разностные схемы:

1. явная разностная схема (метод простой итерации)
 

  • имеет порядок аппроксимации
  • условно устойчива
  • решается с помощью итерационного соотношения
     
  • требует итераций;

    2. неявная разностная схема
     
  • имеет порядок аппроксимации
  • абсолютно устойчива,
  • решается с помощью метода прогонки,
  • требует итераций;

    3. разностная схема Кранка-Николсона
     
  • имеет порядок аппроксимации
  • абсолютно устойчива,
  • решается с помощью метода прогонки,
  • требует итераций.

         При использовании любой из перечисленных разностных схем в качестве нулевой итерации (начального условия, необходимого для решения в связи с введением фиктивной производной по времени) задают свободный член:
     
    Расчёт итераций продолжается до тех пор, пока итерационный процесс не сойдётся, т.е. пока не будет выполняться условие:
     

         Следует отметить, что метод установления требует соблюдения следующих правил при введении фиктивной производной по времени:
    1) исходное стационарное уравнение предварительно должно быть приведено к виду (10.11), т.е. производная второго порядка должна находится в правой части уравнения и иметь положительный знак, а производная первого порядка - в левой части уравнения;
    2) фиктивная производная по времени должна быть введена в левую часть уравнения и иметь положительный знак.

         Напомним, что в случае v < 0 для аппроксимации производной по координате первого порядка следует использовать правую конечную разность.