Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа.
       7. Обобщение изученных методов.

     В заключение приведём обобщение методов численного решения дифференциальных уравнений эллиптического типа:
  (11.10)
Для численного решения уравнений типа (11.10) используется метод установления, заключающийся во введении в уравнение фиктивной производной по времени (т.е. преобразовании стационарной задачи в нестационарную):
 
В силу независимости от времени граничных условий (соответствующих исходной стационарной задаче) с течением времени производная по времени будет стремиться к нулю, а решение нестационарной задачи - к решению исходной стационарной задачи:
 
Процесс пошагового приближения решения нестационарной задачи к решению исходной стационарной задачи называют итерационным процессом.
     Для осуществления итерационного процесса (т.е. для решения нестационарной задачи) используются следующие разностные схемы:

1. явная разностная схема (метод простой итерации; рассматривается для случая k = 0)
 

  • имеет порядок аппроксимации
  • условно устойчива
  • решается с помощью итерационного соотношения
     
  • требует итераций;

    2. схема расщепления
     
  • имеет порядок аппроксимации
  • абсолютно устойчива,
  • каждая подсхема решается с помощью метода прогонки,
  • требует итераций;

    3. схема переменных направлений
     
  • имеет порядок аппроксимации
  • абсолютно устойчива,
  • каждая подсхема решается с помощью метода прогонки,
  • требует итераций;

    4. схема предиктор-корректор
     
  • имеет порядок аппроксимации
  • абсолютно устойчива,
  • каждая из подсхем предиктора решается с помощью метода прогонки, корректор - с помощью итерационного соотношения:
     
  • требует итераций.


         При использовании любой из перечисленных разностных схем в качестве нулевой итерации (начального условия, необходимого для решения в связи с введением фиктивной производной по времени) задают свободный член:
     
    Расчёт итераций продолжается до тех пор, пока итерационный процесс не сойдётся, т.е. пока не будет выполняться условие:
     

         Следует отметить, что метод установления требует соблюдения следующих правил при введении фиктивной производной по времени:
    1) исходное стационарное уравнение предварительно должно быть приведено к виду (11.10), т.е. производные второго порядка должны находится в правой части уравнения и иметь положительный знак;
    2) фиктивная производная по времени должна быть введена в левую часть уравнения и иметь положительный знак.