Исследуем устойчивость разностной схемы (5.5) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член , наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7): Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на , и выражаем величину, обратную : Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что для устойчивости разностной схемы (5.5) согласно условию (5.7) требуется, чтобы величины, обратные собственным числам оператора перехода, были расположены вне или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости.

     1. Рассмотрим случай v < 0. Введём следующее обозначение: Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора перехода, расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке и радиусом r. Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.7), получаем три различных варианта (см. рисунок). Видно, что окружность, соответствующая величинам , при r < 1 находится внутри круга, соответствующего условию (5.7); при r > 1 - вне этого круга; а при r = 1 совпадает с его границей. Таким образом, при отрицательном значении параметра v неявная разностная схема (5.5) будет устойчива при выполнении следующего условия:
     2. Рассмотрим случай v > 0. Введём следующее обозначение: Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора перехода, расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке и радиусом q. Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.7) при любом значении q (см. рисунок). Таким образом, при положительном значении параметра v неявная разностная схема (5.5) будет устойчива.

     Обобщая полученные результаты, сделаем вывод, что неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью (5.5) будет устойчива при выполнении одного из условий:

(5.10)

Из соотношения (5.10) видно, что в частном случае при положительном значении параметра v рассматриваемая разностная схема является абсолютно устойчивой.