|
5.1. Исследование устойчивости.
Исследуем устойчивость разностной схемы (5.4) с помощью
спектрального метода. Для этого отбрасываем член  ,
наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы,
и представляем решение в виде гармоники (3.7):
Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на  ,
и выражаем величину, обратную  :
При этом необходимое условие устойчивости разностных схем (5.6) также преобразуем к виду:
| |
 |
(5.7) |
Неравенство (5.7) в применении к комплексным числам означает, что для устойчивости разностной схемы
(5.4) требуется, чтобы величины, обратные собственным числам оператора
перехода, были расположены вне или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале
координат комплексной плоскости (см. рисунок).
1. Рассмотрим случай v < 0. Введём следующее обозначение:
Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора
перехода, расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке  и радиусом:
Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.7) при любом значении r
(см. рисунок). Таким образом, при отрицательном значении параметра v неявная
разностная схема (5.4) будет устойчива.
2. Рассмотрим случай v > 0. Введём следующее обозначение:
Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора перехода,
расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке  и радиусом q.
Сравнивая расположение этой окружности на комплексной плоскости с условием (5.7), получаем три
различных варианта (см. рисунок). Видно, что окружность, соответствующая величинам  ,
при q < 1 находится внутри круга, соответствующего условию (5.7); при q > 1 - вне этого круга;
а при q = 1 совпадает с его границей. Таким образом, при положительном значении параметра v неявная разностная
схема (5.4) будет устойчива при выполнении следующего условия:
Обобщая полученные результаты, сделаем вывод, что неявная
разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью (5.4)
будет устойчива при выполнении одного из условий:
| |
 |
(5.8) |
Из соотношения (5.8) видно, что в частном случае при отрицательном значении параметра v
рассматриваемая разностная схема является абсолютно устойчивой.
|
