Исследуем устойчивость неявной разностной схемы (8.8), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (8.1), с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член , наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники: Упрощаем данное выражение, деля левую и правую его части на : Группируя члены, содержащие , в левой части уравнения, выразим величину, обратную : Напомним, что если величины, обратные собственным числам оператора перехода, имеют комплексный вид, то согласно необходимому условию устойчивости разностных схем (3.8), записанному в виде (5.7), требуется, чтобы они были расположены вне или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости.
     Введём следующие обозначения: Данное выражение трудно анализировать, поскольку оно содержит две переменные величины - и . Рассмотрим наиболее простой случай, когда = : Полученное выражение свидетельствует о том, что величины, обратные собственным числам оператора перехода, расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 + r; 0) и радиусом r. Данная окружность находится вне круга, соответствующего условию (5.7) при любом значении r (см. рисунок). Таким образом, в случае = неявная разностная схема (8.8) устойчива. Можно доказать, что устойчивость разностной схемы (8.8) сохранится и в случае (в силу сложности это доказательство не рассматривается); следовательно, неявная разностная схема (8.8) является абсолютно устойчивой.

     Проведя исследование устойчивости неявных разностных схем (8.9)-(8.11) по аналогичной методике, можно доказать, что каждая из них также является абсолютно устойчивой.