1.1. Описание бифуркации Андронова-Хопфа
Рассмотрим систему уравнений:
Система (12.1) имеет неподвижную точку при любых значениях параметра .
Исследуем её на устойчивость при < 0, > 0, = 0.
Матрица А линеаризованной системы в точке имеет вид:
Собственные числа матрицы А являются комплексными сопряжёнными:
Следовательно, при < 0 неподвижная точка является устойчивым фокусом,
а при > 0 - неустойчивым фокусом. При = 0 собственные числа располагаются на мнимой оси,
и об устойчивости состояния равновесия нельзя судить по линеаризованной системе.
Для исследования фазового портрета системы (12.1) удобно ввести полярные координаты, в которых система (12.1) примет вид:
|
|
(12.2) |
Из второго уравнения системы (12.2) следует, что переменная играет роль времени:
Следовательно, наиболее существенная информация о структуре траекторий содержится в первом уравнении системы (12.2).
Определим неподвижные точки уравнения (12.2):
Одна неподвижная точка существует при любых значениях параметра :
при 0 она является аттрактором, а при > 0 - репеллером.
При 0 других неподвижных точек нет.
При > 0 уравнение (12.2) имеет ещё одну неподвижную точку ,
которая является аттрактором (см. рисунок).
Неподвижная точка уравнения (12.2)
отвечает неподвижной точке системы (12.1),
а неподвижная точка соответствует устойчивой замкнутой траектории - предельному циклу, представляющему собой окружность радиусом
Таким образом, при переходе параметра через нуль слева направо устойчивый фокус становится неустойчивым,
и от него отделяется предельный цикл - окружность, диаметр которой растёт пропорционально величине .
Такое явление называется бифуркацией рождения цикла и в честь авторов, исследовавших этот тип бифуркации, - бифуркацией Андронова-Хопфа.
|