Бифуркация Андронова-Хопфа
(на примере реакционной схемы в реакторах идеального смешения и трубчатого)
         1. Бифуркация Андронова-Хопфа

     1.1. Описание бифуркации Андронова-Хопфа

     Рассмотрим систему уравнений:
  (12.1)
Система (12.1) имеет неподвижную точку при любых значениях параметра . Исследуем её на устойчивость при < 0, > 0, = 0.

     Матрица А линеаризованной системы в точке имеет вид:
 
Собственные числа матрицы А являются комплексными сопряжёнными:
 
Следовательно, при < 0 неподвижная точка является устойчивым фокусом, а при > 0 - неустойчивым фокусом. При = 0 собственные числа располагаются на мнимой оси, и об устойчивости состояния равновесия нельзя судить по линеаризованной системе.

     Для исследования фазового портрета системы (12.1) удобно ввести полярные координаты, в которых система (12.1) примет вид:
  (12.2)
Из второго уравнения системы (12.2) следует, что переменная играет роль времени: Следовательно, наиболее существенная информация о структуре траекторий содержится в первом уравнении системы (12.2).


     Определим неподвижные точки уравнения (12.2):
 
Одна неподвижная точка существует при любых значениях параметра : при 0 она является аттрактором, а при > 0 - репеллером. При 0 других неподвижных точек нет. При > 0 уравнение (12.2) имеет ещё одну неподвижную точку , которая является аттрактором (см. рисунок).

     Неподвижная точка уравнения (12.2) отвечает неподвижной точке системы (12.1), а неподвижная точка соответствует устойчивой замкнутой траектории - предельному циклу, представляющему собой окружность радиусом

     Таким образом, при переходе параметра через нуль слева направо устойчивый фокус становится неустойчивым, и от него отделяется предельный цикл - окружность, диаметр которой растёт пропорционально величине . Такое явление называется бифуркацией рождения цикла и в честь авторов, исследовавших этот тип бифуркации, - бифуркацией Андронова-Хопфа.