Исследуем устойчивость явной разностной схемы (9.3), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (9.1), с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член , наличие которого, как известно, не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники: Далее, упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на : Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу из которой выражаем : С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем (3.8) имеем: В полученном двойном неравенстве правое условие выполняется автоматически. Поэтому рассмотрим более подробно левое условие: Чтобы гарантировать устойчивость разностной схемы (9.3) независимо от значений , и , следует перейти к более строгому условию, задавая для максимально возможное значение, равное 1:

(9.5)

Выражение (9.5) является условием устойчивости явной разностной схемы (9.3), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (9.1). В случае отсутствия в уравнении (9.1) свободного члена (т.е. при k = 0), а также если интервалы между точками по осям x, y и z на разностной сетке задать равными выражение (9.5) примет более простой вид: Сравнивая данное выражение с соотношениями (3.12) и (7.4a) (условиями устойчивости явной разностной схемы для случаев одномерной и двумерной задач, соответственно), можно получить условие устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей N-мерное дифференциальное уравнение параболического типа: